FAQ – Häufige Fragen

Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) ist die wichtigste stetige Verteilung der Statistik. Die Streuung vieler Messwerte aus Natur, Technik und Wirtschaft um ihren Mittelwert lässt sich mit ihr oft in guter Näherung beschreiben. Ihre Dichtefunktion ist die symmetrische, glockenförmige Gaußsche Glockenkurve. Mittelwert, Median und Modalwert fallen bei ihr zusammen.

Die Normalverteilung ist durch zwei Parameter vollständig bestimmt: den Mittelwert μ (Lage) und die Standardabweichung σ (Breite). Je größer σ, desto stärker streuen die Werte und desto breiter und flacher ist die Kurve. Theoretisch reicht sie in beide Richtungen bis ins Unendliche; Werte weit außerhalb von ±3σ sind aber sehr selten.

Bei jeder Normalverteilung liegen im Bereich

• μ ± 1σ: ca. 68,3 % aller Werte
• μ ± 2σ: ca. 95,4 % aller Werte
• μ ± 3σ: ca. 99,73 % aller Werte

Diese Anteile entsprechen der Fläche unter der Kurve, also der Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert in diesem Bereich liegt.

Viele statistische Verfahren (z. B. t-Test, klassische Prozessfähigkeitsindizes) setzen annähernd normalverteilte Daten voraus. Das sollte vorher geprüft werden, etwa mit einem Wahrscheinlichkeitsnetz oder einem Normalverteilungstest (z. B. Anderson-Darling).

Welche grafischen und statistischen Werkzeuge in einem Six-Sigma-Projekt passen, hängt von der Datenart ab.

Attributive (qualitative) Daten ordnen Beobachtungen Kategorien zu, z. B. gut/schlecht, Fehlerklasse, Maschine 1/2/3, Standort oder Schicht. Ausgewertet wird, wie oft eine Kategorie vorkommt. Rechnen mit den Kategorien selbst (z. B. einen Mittelwert bilden) ist nicht sinnvoll; bei geordneten Kategorien (z. B. Schulnoten) ist höchstens eine Rangfolge möglich.

Diskrete Zähldaten sind ganzzahlige Ergebnisse von Zählungen, z. B. Maschinenausfälle pro Monat, fehlerhafte Rechnungen pro Woche oder Kundenreklamationen. Sie sind zwar Zahlen, werden in der statistischen Prozesslenkung aber meist ebenfalls mit attributiven Werkzeugen ausgewertet (z. B. p-, np-, c- oder u-Regelkarten).

Variable (stetige, kontinuierliche) Daten sind Messwerte, die innerhalb eines Bereichs jeden Wert annehmen können, begrenzt nur durch die Messgenauigkeit, z. B. Zeit, Druck, Bandgeschwindigkeit, Abmessungen oder Kosten.

Aussagekraft: Attributive Daten enthalten weniger Information; für belastbare Aussagen braucht man deutlich größere Stichproben. Zudem ist die Fähigkeit attributiver Prüfungen (Messsystemanalyse) oft problematisch. Wo möglich, sollten daher stetige Messdaten erhoben werden.

Mittelwert, Median und Modalwert sind Lagemaße: Sie beschreiben, wo die „Mitte“ eines Datensatzes liegt.

Der arithmetische Mittelwert (x̄, „x quer“) ist der Durchschnitt aller Werte: Man addiert alle Einzelwerte und teilt die Summe durch ihre Anzahl n.

x̄ = (x₁ + x₂ + … + x_n) / n

Beispiel: Die Werte 4, 5, 6, 5 und 30 ergeben x̄ = 50 / 5 = 10.

Da jeder Einzelwert mit seiner Größe eingeht, wird der Mittelwert stark von Ausreißern beeinflusst: Im Beispiel liegt er wegen des einen Werts 30 deutlich über den übrigen Werten. Bei schiefen Verteilungen oder Ausreißern sollte daher zusätzlich der Median betrachtet werden.

Mittelwert, Median und Modalwert sind Lagemaße, die die Mitte eines Datensatzes beschreiben.

Der Median ist der mittlere Wert der der Größe nach geordneten Daten: Mindestens die Hälfte der Werte ist kleiner oder gleich, mindestens die Hälfte größer oder gleich dem Median.

• Ungerade Anzahl: 4, 5, 5, 6, 30 → Median = 5
• Gerade Anzahl: 4, 5, 6, 30 → Median = (5 + 6) / 2 = 5,5

Für den Median zählt nur die Reihenfolge der Werte, nicht ihre genaue Größe. Deshalb ist er robust gegenüber Ausreißern: Ob der größte Wert 30 oder 300 ist, ändert ihn nicht. Bei schiefen Verteilungen beschreibt er die typische Lage oft besser als der Mittelwert.

Anschaulich: Denkt man sich neun gleich schwere Kugeln auf einer gewichtslosen Stange, ist der Mittelwert der Schwerpunkt des Systems, der Median die mittlere (fünfte) Kugel.

Es empfiehlt sich, Mittelwert und Median gemeinsam zu betrachten: Liegen sie deutlich auseinander, deutet das auf eine schiefe Verteilung oder Ausreißer hin.

Mittelwert, Median und Modalwert sind Lagemaße, die die Mitte eines Datensatzes beschreiben.

Der Modus oder Modalwert ist der Wert, der in einem Datensatz am häufigsten vorkommt. Beispiel: Bei 4, 5, 5, 6, 30 ist der Modus 5.

• Der Modus ist das einzige Lagemaß, das auch für attributive (kategoriale) Daten sinnvoll ist, z. B. die häufigste Fehlerart oder die Schicht mit den meisten Reklamationen.
• Er muss nicht eindeutig sein: Treten zwei Werte gleich häufig am meisten auf, ist die Verteilung bimodal. In der Praxis kann das auf eine Mischung verschiedener Einflüsse hinweisen, z. B. zwei Maschinen oder zwei Lieferanten.
• Bei stetigen Messdaten kommt jeder Wert oft nur einmal vor; dann bestimmt man die am stärksten besetzte Klasse im Histogramm.

Kurzzeitfähigkeit beschreibt die bestmögliche Leistung eines Prozesses. Die Daten werden in kurzer Zeit erhoben, typischerweise 30, besser 50 direkt aufeinanderfolgende Werte, sodass Störgrößen wie Schicht-, Chargen- oder Temperaturwechsel möglichst wenig wirken. Sie ist nicht dasselbe wie die Maschinenfähigkeit (Cm/Cmk), die gezielt nur den Einfluss der Maschine untersucht.

Langzeitfähigkeit wird über Wochen oder Monate ermittelt, häufig mit Regelkarten und mindestens etwa 100 Werten (z. B. 25 Teilgruppen à 5). Hier wirken alle üblichen Störgrößen, daher ist sie in der Regel niedriger als die Kurzzeitfähigkeit. Welche Daten verfügbar sind, hängt vom Produkt und den Durchlaufzeiten ab.

Das Sigma-Level Z gibt an, wie viele Standardabweichungen zwischen dem Mittelwert und der nächstgelegenen Spezifikationsgrenze liegen. Es gilt Z = 3 · Cpk.

Um aus Kurzzeitdaten auf die Langzeitleistung zu schließen, verwendet Six Sigma den 1,5-Sigma-Shift:

Z_LT = Z_ST − 1,5

Ein „Six-Sigma-Prozess“ (Z_ST = 6) entspricht damit langfristig Z_LT = 4,5, also etwa 3,4 fehlerhaften Teilen pro Million.

Der Wert 1,5 ist eine Konvention, die aus Erfahrungen in der Fertigung abgeleitet wurde. Die tatsächliche Verschiebung ist von Prozess zu Prozess verschieden und sollte, wenn Langzeitdaten vorliegen, aus diesen ermittelt statt pauschal angenommen werden.

Prozessfähigkeitsindizes zeigen, wie gut ein Prozess die Spezifikation (Kundenanforderung) erfüllt. Sie machen Prozesse vergleichbar und Verbesserungen messbar.

Cp setzt die Toleranzbreite ins Verhältnis zur natürlichen Streubreite 6σ:

Cp = (OSG − USG) / (6σ) (OSG/USG = obere/untere Spezifikationsgrenze)

Cp = 1 bedeutet: Die Toleranz ist genau so breit wie ±3σ. Die Lage des Mittelwerts bleibt unberücksichtigt.

Cpk berücksichtigt auch die Lage und betrachtet nur die Seite, auf der der Mittelwert x̄ näher an der Grenze liegt:

Cpk = Minimum von (x̄ − USG) / (3σ) und (OSG − x̄) / (3σ)

Ist der Prozess zentriert, gilt Cpk = Cp. In der Praxis wird häufig Cpk ≥ 1,33 gefordert.

Cp/Cpk oder Pp/Ppk? Die Formeln sind gleich, unterschiedlich ist die verwendete Standardabweichung:

• Cp/Cpk (Minitab: Fähigkeit „innerhalb“): Streuung innerhalb der Teilgruppen, eher kurzfristig, potenzielle Fähigkeit.
• Pp/Ppk (Minitab: „gesamt“): Gesamtstandardabweichung aller Werte inklusive Schwankungen zwischen den Teilgruppen, tatsächliche Gesamtleistung.

Nach ISO 22514 und VDA Band 4 sind Cp/Cpk nur für stabile (beherrschte) Prozesse aussagekräftig; Pp/Ppk (Prozessleistung) können auch bei nicht stabilen Prozessen berechnet werden. Stabilität und Normalverteilung sind verschiedene Dinge: Bei nicht normalverteilten Daten werden die Indizes über ein passendes Verteilungsmodell bzw. Quantile bestimmt.